以前、こんなの書きましたが、、、
さらばThunderbirdと思ったが…
ということで、Chrome拡張機能（ディスクトップ通知付き）+マルチログインでGMAILは諦めたのだけど、またググっていたら、いい方法が出ていた。
Simple Gmail Checker Gmailのマルチアカウント通知と自動ログイン機能が便利なChrome拡張機能
というわけで、これでやったら、うまいこと行った。
メールチェックの間隔が１分からのようだけど…。（他のは１５秒からだったりします）
まぁ、１分でチェックしてくれるなら、いいか。
昔は、サーバーの負荷になるとかで、５分とかにさせられていた気もするしね。